Székedi Ferenc: Arcok, szavak, emlékek (18)
Az utóbbi években többször is átválogattam a könyveimet, egy utolsó simogatással iskoláknak, könyvtáraknak, egyetemnek, antikváriumnak, rokonoknak, barátoknak ajándékozva oda mindazokat a köteteket, amelyekről úgy éreztem, hogy már aligha fogok újraolvasni. A dedikált könyvek jelentették a kivételt. A megmaradókat.
Sándor József: Geometriai egyenlőtlenségek
(Dacia könyvkiadó, Cluj-Napoca, 1988, Antenna sorozat, Szerkesztő: Kerekes György, Műszaki szerkesztő: Molnár Attila, Szaklektor: Dr. Orbán Béla, Ára lei 10,50.)
Harminc éves ez a kis könyv, szerzője, Sándor József (1956) már 62. Amikor azonban az udvarhelyi matektanár elküldte nekem elsőszülöttjét és én írtam is róla, aligha lehetett előre látni, hogy a kolozsvári Babeş–Bolyai Tudományegyetem leendő előadóját majd az egyik legtöbbet publikáló erdélyi matematikusként emlegetik. És nem itthon, hanem világszerte, több nyelven jelentek meg könyvei, tanulmányai önálló, vagy társszerzőként. Többször költöztem, többször hurcolkodtam én is a könyveimmel, és a matek iránti tiszteletből, egykori szenvedélyemet nem feledve, ezt a kis könyvet mindig megőriztem. De nem csupán azért. A könyvből ugyanis hamar kiderült, hogy Sándor József nem amolyan matek-favágóként látja a saját szakmáját, nem úgy cselekszik, mint egynéhány pályatársa, aki egy-két példát megold a táblánál, majd a többieket úgy húzzák rá a diákok, mint a futószalagok munkásai vagy legújabban mint a digitalizált robotok, mindig ugyanazokat a mozdulatokat ismételve. Nem, már könyve bevezetőjében, egész felépítésében érződött, hogy nem valamiféle olyan példatárt gyárt, amelyet meglehetősen sokan elkövettek, hanem a matematikai gondolkodás elkötelezett híve. Dehát milyen ez a gondolkodás? Nos, azt hiszem erről kellene többet beszélni már az általános iskolában. A matematikáról, mint önálló fogalmi rendszerről, a matematikáról, mint az emberi gondolkodás alapvető összetevőjéről, a matematikáról, mint állandóan változó modellről, amely mindegyre képes megújítani önmagát és amelyben Euklidész, Thálesz, Pithagorász és sok más név, amelytől nemzedékek úgy rettegtek és rettegnek, csupán sajátos részei annak a nagy egésznek, amely a világegyetemet ugyanúgy magyarázza, mint az anyag legrejtettebb szerkezetét, miközben majd minden téren életünk nélkülözhetetlen eszközévé válik. Még akkor is, ha nem tudunk róla, még akkor is, ha manapság elég egy függvényt, egyenletet vagy egyenlőtlenséget, vagy bármi mást beütni a mobiltelefonba, az erre szakosodott portálokra, és máris kész az eredmény, amivel a diák csilloghat-villoghat. A matematikában azonban nem az eredmény, hanem az elvont formák megtalálása, a határok átlépése, a legkülönbözőbb változatok keresése és az összefüggések felfedése, egyáltalán a gondolkodás a legszebb, és aki ezeket megleli, egyáltalán nem kockafej, hanem kerekebb, oválisabb, ha úgy tetszik, csiszoltabb sok másnál. Talán két éve olvastam, hogy Sándor Józsefet kitüntették Udvarhelyszék Tudományáért díjjal. De azt is olvastam, hogy egy bolgár lapban gratuláltak neki hatvan éves születésnapjára. Amiből nyilvánvalóan nem az következik, hogy Udvarhelyszék tudománya átköltözött Szófiába, hanem az, hogy a tudomány – egyetemes.
A könyv előszavából
A geometriai egyenlőtlenségek és szélsőértékfeladatok témaköre rendkívül vonzó, egyrészt mert állításait kevés előismeret mellett megérthetjük, másrészt mert a mindennapi élet vagy más tudományok keretében is gyakran felmerülnek szélsőértékekkel kapcsolatos problémák.
Gazdaságos megoldást szeretnénk elérni, tehát minimális befektetés melleit maximális hatékonyságot. A természetben a szimmetria mellett ez az egyik alapvető princípium. Elgondolkozhatunk olyan kérdéseken, hogy a fák törzse miért henger alakú, a bolygók, a vízcseppek, a levegőben levő buborékok miért megközelítőleg gömb alakúak, a virágok szirmai miért növekednek kör alakban, homogén közegben a fénysugár miért terjed egyenes vonalban, vagy hogy a -rénszarvascsorda miért tömörül veszély esetén kör alakú gyűrűbe.
Az első szélsőértékfeladatok valószínűleg már a görögök előtt felmerültek, az első rendszeres megalapozók és tudományos módszerek kidolgozói azonban kétségtelenül a görög geométerek voltak. Euklidész könyvének szelleme hétezer éven át hatott, és ma sem veszített csillogásából. Olyan matematikusok tanultak belőle, mint Newton, Bolyai, Einstein, Hilbert stb., hogy csak néhányat említsünk az emberiség nagy geométerei közül. A görögök ismertek számos szélsőértékes problémát, például azt, hogy az adott kerületű téglalapok közül a négyzetnek van a legnagyobb területe vagy, hogy az adott felszínű hengerek közül az egyenlő oldalú hengernek van maximális térfogata. Ezenkívül ismerték az ún. „izoperimetrikus feladatot” is, amely szerint adott hosszúságú zárt görbe, akkor foglal magában maximális területei, ha a görbe éppen kör. A valamikor i.e. 200 és i.sz. 90 közölt’élő Zenodórosz írt egy ,,Izoperimetrikus alakzatok” című könyvet. Ennek – sajnos – egyetlen példánya sem maradt ránk, de Zenodórosz könyvének néhány eredményét ismertette és bizonyította az alexandriai Papposz i.sz. 300 körül.
A legenda szerint Didó, Türosz királyának lánya, miután férjét, Acerbászt megölték, menekülése közben Afrika Szicíliához közeli partjaira is eljutott. Földet kért a vidék uralkodójától, mire akkora területet ígértek neki, melyet egy marhabőrrel lefedhet. Az okos Didó vékony csíkokra vágta a bőrt, majd így összefonva hosszú köteléket készített, és – a tengerpartot egyenesnek tekintve – félkör alakú területet (tehát a lehető legnagyobbat) foglalt el. Innen indult fejlődésnek Karthágó virágzó városa.
A görög matematikusok – Arkhimédésszel az élen –, habár ismerték az izoperimetrikus feladat eredményét, kielégítően szabatos bizonyítást nem találtak rá.
A görög geométerek munkásságától a XVIII. század második felében működő S. Lhuilier és J. Steinerig elég csekély volt az előrehaladás. A híres Steiner sokat foglalkozott, végső siker nélkül, az izoperimetrikus feladattal. Weierstrass volt az első, aki – az analízis szigorú megalapozása után bemutatta – az egzisztencia, a létezés kérdését is megvizsgálva – a feladat teljes megoldását. Weierstrass és mások ez irányú munkássága révén indult fejlődésnek a már Euler által felfedezett variációszámítás és topológia.
Habár Steinernek nem sikerült tökéletesen megoldania az izoperimetrikus feladatokat, ötletei annyira sokoldalúak és gyümölcsözőek voltak, hogy számos más kérdéskör vizsgálatában hasznosak lettek. Ezek az_ún. klasszikus geometriai módszerek, amelyekkel ebben a könyvben is foglalkozunk.
Euler volt az első, aki kiszámította egy háromszögbe irt kör középpontja és a háromszög köré írt kör középpontja közötti távolságot. Innen következik a téma valóságos gyöngyszeme, az Euler-féle egyenlőtlenség. A. könyvben majdnem minden fejezetben kitértünk rá, de más esetekben általánosítások után is megemlítettük...
Pusztai Péter rajza